저의 의견은,

be 동사로 받아야 한다고 생각합니다.

위 문장의 조동사는 be 동사이기 때문이에요.

우리가 저런식의 축약표현, 대답, 부가의문문 등을 표현할 때, 조동사가 대신합니다.

단지, 일반동사 홀로 쓰였을 때, do 를 쓰는 이유는 do 가 대동사여서라기 보다는(물론 그렇게 보아도 됩니다.)
일반 동사 앞에 조동사 do 가 생략된 것으로 보아야 설명이 일관되어집니다.

현재진행형의 be동사도 조동사가 되나요? 제생각은 be동사뒤에 wearing a hat이 생략된것같은데...

be 동사는 뒤에 명,형,부 보충어가(보어) 가 따르면 본동사로도 linking verb 역할을 하고
동사의 현재진행형, 수동태를 만들때는 조동사의 역할을 합니다. 이경우 be 동사를 문법조동사로 분류합니다.

be 동사가 위 문장에서 조동사인 것도 맞고, 뒤에 wearing a hat 이 생략된 것도 맞습니다.
단지 저렇게 동사부를 생략할 때, 조동사를 살려두죠.

아....그렇군요....완벽한설명 감사합니다.^ ^