여기서해서는 하다가 맞네요
나는 그런일을 했다는것을 후회한다라는 내용이네요 ㅋ

have가 본동사일때는 \가지다/먹다/시키다\의 뜻이지만 예문에서는 \have + pp\의 형태로서 시제를 나타내는
조동사로 쓰였습니다. 즉, regret하기 전에 한 일임을 알려주는 거죠.

I regret that I did such a thing
= I regret having done such a thing - regret와 that 절의 did의 시제가 다르기 때문에 동명사구로 전환할때 완료 형태를 사용해야 겠지요...그래서 having에 특별한 의미가 있는 것이 아니라 did의 시제가 regret의 시제보다 더 과거임을 나타내기 위해 사용한 것입니다. 그러므로 의미를 갖는것은 did (하다) 이겠지요..
도움이 됐음합니다.

regret ~ing와, regret to원형의 의미 차이도 알아 두시면 좋겠지요.